manuelmmmoreno: La geometría y problemas.

La geometría es una rama de las matemáticas que estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas y superficies.

Creo que la geometría de primaria es uno los apartados menos trabajados en la enseñanza de las matemáticas, ya que siempre se planifica la asignatura de tal manera que los contenidos geométricos se colocan en el último bloque temático, para el que casi nunca hay tiempo para profundizar lo suficiente.

El primer contacto de los alumnos con la geometría tiene lugar desde el primer momento en el que comienzan a manipular objetos utilizados en la vida cotidiana; después, poco a poco el niño va adquiriendo aptitudes que le permiten reconocer y comparar estos cuerpos con formas y figuras geométricas.

Pienso que la herramienta o recurso básico para el aprendizaje de los primeros conceptos de Geometría es el juego, sobretodo en las primeras etapas o ciclos de la educación primaria, ya que a través de él los niños captan e interiorizan mejor los contenidos, dado que les resulta más fácil recordar algo de lo que ellos han sido participes.

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Geometría de 1º ESO

26112009

Paralelas y perpendiculares

Si tenemos una recta y queremos dibujar una recta paralela o perpendicular deberemos saber manejar la escuadra y el cartabón.

En el video se ilustra la forma ortodoxa de hacerlo, aunque supongo que serás capaz de encontrar la manera de dibujar paralelas y perpendiculares usando solo una regla y una escuadra.

Como ejercico te propongo que te imprimas la imagen siguiente en dos copias.

Paralelas y perpendiculares

En una copia traza las paralelas a la recta a que pasan por lo puntos C, D, E y F.

En otra copia traza las perpendiculares a la recta a que pasan por los puntos F, C y B.

Mediatriz de un segmento
Definición La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio del segmento y es perpendicular a éste.

Propiedades Cualquier punto de la mediatriz está a la misma distancia de cada uno de losextremos del segmento.

¿Cómo se traza la mediatriz usando regla y compás?

En este video encontrarás una explicación para trazar la mediatriz de un segmento con regla y compás

Para practicar puedes realizar estos ejercicios:

Traza las mediatrices de estos segmentos

¿Cual de las siguientes figuras es la mediatriz del segmento? Justifica tu respuesta.

Bisectriz de un ángulo
Definición Es la recta que pasa por el vértice de un ángulo dividiéndolo en dos ángulos iguales.

Propiedad: Cualquier punto de la bisectriz de un ángulo está a la misma distacia de ambas ramas del ángulo.

¿Cómo se traza la bisectriz usando regla y compás?

Para practicar puedes hacer los siguientes ejercicios:

Traza la bisectriz de los siguientes ángulos

Traza las bisectrices de estos ángulos

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Pitágoras

Biografía

Pitágoras: historia y leyenda.

Pitágoras fue el primero en utilizar el término Cosmos para describir el orden y la armonía inherentes a un universo regido por unas leyes cognoscibles e inteligibles por el hombre a través del número que es el principio elemental, «la esencia de todas las cosas», componente esencial de la armonía matemática que debe guiar, con finalidad religiosa, toda investigación sobre el universo.

Pitágoras alcanzaría esta iluminación, tras sus viajes, a través de su propia reflexión sobre la sabiduría milenaria de los pueblos de Oriente Próximo. De los egipcios aprendería que las formas de las figuras geométricas se ajustan a números y proporciones y de Mesopotamia que los movimientos de los astros están regidos por leyes numéricas. De su propia experimentación, Pitágoras deduce que la armonía musical también está regida por el número. De estos tres hechos, tras una audaz extrapolación, Pitágoras estableció que «el número es la esencia del universo» y que «el número es la raíz y fuente de la naturaleza eterna».

Bajo estos presupuestos vitales e intelectuales, Pitágoras funda una comunidad en la que los aspectos científicos y religiosos están íntimamente asociados de forma mística. Se trata de una secta animada por el culto ritual que recuerda a los adoradores de Orfeo, donde las armonías y misterios de la Matemática y de la Filosofía eran partes esenciales y cuya influencia no tardó en hacerse sentir en toda la Magna Grecia e incluso en Roma.

El principal objeto de las doctrinas pitagóricas era la purificación del alma o catarsis mediante la permanente prosecución de estudios filosóficos, matemáticos y cosmológicos, emprendidos como factores de sublimación espiritual para la dirección de la existencia, merced a la identificación intelectual –filosófica– con la gran idea divina ordenadora del universo: el número, que integra y confiere unidad a todo un sistema de pensamiento filosófico, científico y religioso. Las propias palabras Filosofía y Matemática parece que fueron acuñadas por el propio Pitágoras para describir sus actividades intelectuales, como elementos de elevación moral hacia la salvación.

Los pitagóricos perseguían penetrar en el secreto de la armonía de los números, ya que desvelado éste creían poder comprender la armonía del universo. Soñaban con poder captar la esencia del universo bajo la forma de números enteros, imaginándose estar tras las huellas del misterio último de las cosas. Los pitagóricos vinculaban íntimamente Mística, Religión y Ciencia; Geometría, Música, y Cosmología; Aritmología, Metafísica y Filosofía; cuerpo, alma y espíritu en una armoniosa síntesis. Quizá resida en esa capacidad unificadora del Pitagorismo entre lo científico-racional y lo místico-religioso su radicación profunda en la matriz de la Cultura Griega y por ende en su heredera, nuestra llamada Cultura Occidental.

Pero más allá de la Filosofía, la Mística y la Religión, Pitágoras y los pitagóricos aportaron un ingente caudal de conocimientos matemáticos. Proclo escribe Sobre Pitágoras en su celebre Comentario al Libro I de Los Elementos de Euclides:

«Pitágoras transformó la doctrina filosófica que trata de la geometríaen enseñanza liberal, examinó desde lo alto sus principios, investigó los teoremas de un modo inmaterial e intelectual y descubrió la dificultad de los números irracionales y la construcción de las figuras cósmicas [poliedros].»

Además de su gran contribución a la matemático griega, Pitágoras es el principal responsable – a través de la práctica de la demostración – del nacimiento en Grecia de la Matemática racional como ciencia especulativa y deductiva.

Es sin duda, además, el matemático más conocido. Pero más allá de la Matemática, en el ámbito más general de la Historia de la Cultura, Pitágoras es realmente un personaje muy célebre. Su figura es una de las más apasionantes de la Historia del Pensamiento. Racionalista y místico, filósofo y teólogo, matemático y experimentador, sabio y profeta, maestro y piadoso, psicólogo y orador, promotor religioso y hacedor de milagros , interrogador del Cosmos e instaurador de un estilo de vida, gran conversador y amante del silencio reflexivo, hombre de carne y hueso y personaje mítico.

Pitágoras a dejaro una estela que ha perdurado a lo largo de los tiempos y ha conformado la tradición del pensamiento occidental hasta nuestros días, lo que convierte a Pitágoras en uno de los personajes más influyentes en la Historia de la Cultura y del Pensamiento.

Como filósofo del número, para Pitágoras y los pitagóricos, Filosofía, Ciencia, Matemáticas y Religión son aspectos indisociables que se integran en una apasionada actividad intelectual presidida por un misticismo de carácter aritmético – geométrico. Al acuñar para la posteridad, en el lenguaje del saber, los términos Filosofía («amor a la sabiduría») y Matemáticas («lo que se conoce», «lo que se aprende»), Pitágoras es uno de los artífices del milagro griego como principal instaurador de la tradición filosófica y matemática en occidente, contribuyendo su legado de forma incuestionable a establecer una íntima y duradera relación entre Matemática, Ciencia y Filosofía.

Entre la historia y la ficción, la extraordinaria figura de Pitágoras ha sido muy controvertida, estando inmersa en un halo misterioso que envuelve a leyendas y tradiciones sobre el personaje. Se ha llegado incluso a dudar de su existencia. El mismo Aristóteles que vivió tan sólo doscientos años después de Pitágoras, es muy cauto y no se compromete, a pesar de la tradición, con atribuciones personales a Pitágoras de doctrina matemática, musical o cosmológica alguna y prefiere hablar de los pitagóricos más que de Pitágoras, a quien, mencionando sólo en dos ocasiones, parece poner en entredicho su existencia real. Estas suposiciones son desmentidas por algunos documentados testimonios de Heráclito y Herodoto. Actualmente la investigación histórica parece haber dejado fuera de toda duda la historicidad de Pitágoras, pero de todas formas la figura histórica de Pitágoras ha sido muy edulcorada por parte de algunos biógrafos.

Pitágoras nació en la isla de Samos. Tras una exquisita formación intelectual bajo la dirección de los filósofos Ferecides y Hermodomas, es probable que visitara a Tales en Mileto y aprendiera directamente de él, lo que por proximidad cronológica y geográfica habría sido posible. Avido de ampliar conocimientos, al haber agotado las fuentes del saber griego de la época, con un alma helénica, inquieta y viajera, y aconsejado por la experiencia personal de Tales, Pitágoras habría estado en Egipto y Mesopotamia, donde los sacerdotes y escribas le debieron inculcar sus conocimientos que impregnaría toda su elaboración científica y la transmisión de la misma a sus discípulos. Es posible incluso que en sus peregrinaciones Pitágoras llegara hasta la India donde habría asimilado tanto conocimientos matemáticos y astronómicos como mucho bagaje religioso, en particular las doctrinas sobre la reencarnación y la transmigración de las almas, que sería un lugar común en la Comunidad Pitagórica. Incluso se le atribuyen viajes por el Mediterráneo desde Fenicia hasta las Columnas de Hércules y de aquí a las Galias y a las Islas Británicas para aprender de los druidas. El saber milenario de egipcios, fenicios, judíos, árabes, caldeos, persas, indios y druidas habría conformado, según tradiciones legendarias, la extraordinaria sabiduría de Pitágoras. Al regreso de sus viajes, Pitágoras se siente imbuido de una función casi mesiánica de transmisión de la verdad y el conocimiento y empieza a exponer doctrina matemática, filosófica y religiosa, primero en Samos y después en Crotona, colonia dórica de la Magna Grecia, situada en la costa sudeste de Italia, donde funda una comunidad de carácter científico y religioso. La leyenda persigue a Pitágoras hasta el umbral de su muerte que se ha descrito con todo tipo de versiones más o menos peregrinas, algunas incluso de tipo violento en relación con las frecuentes hostilidades entre Crotona y Sibaris. Según lo más fiable parece ser que murió en Metaponto, hacia el año 500 A.C..

El misticismo aritmético-geométrico pitagórico. Los números místicos.

Los pitagóricos basaron su filosofía y su modo de vida en el culto a los números. Para los pitagóricos todo era una encarnación del número.

La fuente primaria más cualificada sobre la Filosofía pitagórica es, sin duda alguna, el capítulo V del libro I de la Metafísica de Aristóteles –que tiene por título «Los pitagóricos y su doctrina de los números»–, donde se lleva a cabo una exposición general del Pitagorismo que empieza con estas palabras (Metafísica, 985b, 986a):

«Los filósofos pitagóricos se dedicaron al cultivo de las matemáticas y fueron los primeros en hacerlas progresar; estando absortos en su estudio creyeron que los principios de las matemáticas eran los principios de todas las cosas. [...] Supusieron que las cosas existentes son números –pero no números que existen aparte, sino que las cosas están realmente compuestas de números–, es decir, los elementos de los números son los elementos de todos los seres existentes y la totalidad del universo es armonía y número. Su razón consistía en que las propiedades numéricas eran inherentes a la escala musical, a los cielos y a otras muchas cosas. »

Este texto de Aristóteles resume el núcleo de la metafísica pitagórica. El entusiasmo ante el descubrimiento pitagórico de la base numérica de los intervalos musicales –los intervalos básicos de la música griega podían representarse mediante las razones 1/2, 3/2 y 4/3– encendió un chispazo de inspirada intuición hacia una fórmula de aplicación universal: «si los números son la clave de los sonidos musicales, ¿no serán también la clave de toda la naturaleza?». Los pitagóricos vivieron imbuidos de un efervescente entusiasmo místico hacia los números, hasta el punto de que Filolao (el pitagórico favorito de Aristóteles) llegó a afirmar:

«Todo lo cognoscible tiene un número, pues no es posible que sin número nada pueda ser concebido ni conocido.»

Cuando los pitagóricos decían, como médula de su metafísica, que todos los objetos estaban compuestos de números, que «los números son la esencia del universo», o que el número es el arjé, el principio elemental –como para otros filósofos presocráticos era el agua, el aire, la tierra, el fuego– lo entenderían en sentido literal, porque los números eran para ellos como los átomos para Demócrito, pero átomos con magnitud y extensión.

Para los pitagóricos el gran sistema del mundo reposa sobre ciertas bases de las que el ser, la forma y la acción de todas las cosas, tanto las particulares como las generales, son una consecuencia natural de la consideración de los números. Quien conoce sus propiedades y sus mutuas relaciones, conoce las leyes merced a las cuales la naturaleza existe. Los números determinan el nexo de unión de todas las cosas y la mecánica del universo entero, son la base del espíritu y el único medio por el cual se manifiesta la realidad. Según el neoplatónico Porfirio:

«Para Pitágoras los números eran símbolos jeroglíficos mediante los cuales explicaba las ideas relacionadas con la naturaleza de las cosas.»

Además, la Geometría permitía someter a los números a operaciones metafísicas de gran significado simbólico. A esta doctrina pitagórica se la llama, a veces, misticismo numérico, como queriendo indicar la atribución a los números, no sólo de un carácter sagrado, sino también de una realidad sustancial descriptiva tanto de los aspectos cualitativos como de los aspectos físicos de las cosas.

Los pitagóricos denominaron Década a los diez primeros números y en la consideración de sus propiedades místicas y cabalísticas y de sus virtudes mágicas desarrollaron, más allá de la Aritmética, un cierto misticismo numérico, una Aritmología (la palabra número deriva del término griego «Aritmo») al establecer que cada número poseía sus propios atributos especiales que le dotaban de ciertas propiedades vitales. Con base en Filolao, Platón –en algunos de sus Diálogos– Aristóteles –en su Metafísica–, Alejandro de Afrodisias (comentador de Aristóteles), Teón, Porfirio, Jámblico, Sexto Empírico y Nicómaco de Gerasa resumieron estos atributos.

El Número 1 o mónada representa el principio activo frente a la diada que es el principio pasivo. Es la verdadera esencia de todas las cosas, el principio y fundamento de cuanto existe. Símbolo del buen principio (el Dios único, expresado en latín por Solus, de donde deriva la palabra Sol). Símbolo de la razón suprema, asociada al concepto de Dios, inteligente e increado, supremo paradigma del Bien y la Belleza. Símbolo del Sumo Poder, Creador y Conservador. Generador de todos los números y de todas las dimensiones. Espacio aritmético entre los números enteros y los fraccionarios. Símbolo de inmutabilidad aritmética (1·1=1, 1/1=1, 11=1).

Para Filolao «el uno es el Padre de los Seres, Padre y Demiurgo del mundo, artífice de la permanencia de las cosas.»

El Número 2 o díada, es el símbolo de la diversidad, de la opinión, de la contraposición, y en particular de la expresión de los contrastes de la naturaleza y de la mayoría de las cosas que afectan al ser humano en forma de dualidad (noche y día, luz y oscuridad, humedad y sequedad, calor y frío, salud y enfermedad, dulce y amargo, bueno y malo, grande y pequeño, belleza y fealdad, etc.).

Aristóteles resume esta dualidad en la Metafísica : «Otros pitagóricos admiten diez principios coordinados entre sí en este orden ».

limitado	ilimitado
impar	par
unidad	pluralidad
derecho	izquierdo
masculino	femenino
reposo	movimiento
recto	curvo
luz	oscuridad
bueno	malo
cuadrado	oblongo

( oblongo = mas largo que ancho )

Es la llamada «lista pitagórica de los contrarios», de sorprendente similitud con la doctrina del Yin-Yang de la filosofía china, que indicaría que todos los fenómenos se originarían por la interacción de dos fuerzas cósmicas o principios antagónicos.

Aunque el esquema pitagórico estaría enraizado en los valores, por la posición que ocupa lo bueno en la izquierda del cuadro y lo malo en la derecha. También Diógenes Laercio (Libro VIII. Pitágoras.15) atribuye esta dualidad a Pitágoras.

El Número 5 tenía un gran simbolismo para los pitagóricos, como conjunción de los principios masculino y femenino y por tanto símbolo del matrimonio (2+3=5); también de lo par y lo impar; como número esférico o circular porque sus potencias termina en cinco; como menor número cuyo cuadrado es suma de cuadrados (5²=3²+4², representación aritmética del triángulo divino), en relación con el Teorema de Pitágoras. Además, cinco son los sólidos poliedros regulares (tetraedro, octaedro, cubo, dodecaedro e icosaedro), conocidos más tarde por el nombre de Cuerpos Platónicos al ser tomados por Platón de los pitagóricos.

El número 5 corresponde al Pentagrama místico pitagórico, Pentalfa, o estrella de cinco puntas –obtenida al trazar las diagonales de un pentágono regular o prolongando sus lados– emblema de la salud y símbolo de identificación de los pitagóricos como miembros de una comunidad.

El Pentagrama místico fue uno de los tópicos geométricos más importantes de la Escuela Pitagórica por sus bellísimas propiedades geométricas de las que nace su simbolismo místico. Esta figura geométrica pudo estar en la base del más importante hallazgo científico de los pitagóricos –el descubrimiento de las magnitudes inconmensurables–, una de las causas de la profunda crisis que arruinó a la cofradía pitagórica.

Una de las curiosas propiedades del Pentagrama, que imponía respeto a los pitagóricos era su «unicursalidad»: «la estrella pentagonal puede ser trazada por el movimiento de un punto sin pasar dos veces por el mismo lado».

Una segunda propiedad profundamente aritmológica en su esencia inspiraba a los pitagóricos un entusiasmo místico, relacionando el pentagrama con la palabra salud (ugieia = higieia, de donde deriva higiene). Aunque la palabra ugieia tiene seis letras, a veces se producía una contracción que hacía desaparecer la primera i (como atestiguan algunas inscripciones), quedando entonces con cinco letras ugeia, que se situaban sobre cada uno de los vértices del Pentagrama, que de esta forma se convertía en el anagrama supremo de la salud.

El número 5 es, además, el centro aritmético de los nueve primeros números de la década 1,2,3,4,5,6,7,8,9, siendo, asimismo, la media aritmética de sus equidistantes (1 y 9, 2 y 8, 3 y 7, 4 y 6) según manifiesta el Esquema de Teón de Esmirna.

1	4	7
2	5	8
3	6	9

El Número 10 es el de mayor carga simbólica y el más sagrado de todos los números. Puesto que los cuatro primeros números contienen el secreto de la escala musical, su suma (1+2+3+4=10), el número diez, la década, puede «parecer que abarca», como dice Aristóteles, «la naturaleza toda del número», sería en sí «algo perfecto», y representa el número del universo, la suma de todas las posibles dimensiones geométricas. Para Filolao la Década era «grande, todopoderosa y generadora de todo, comienzo y guía tanto de la vida divina como de la terrestre» y para Sexto Empírico «la razón de la composición de todas las cosas.»

El número diez, cuya veneración, no es tributaria, paradójicamente, de la anatomía de la mano del hombre, es la quintaesencia del misticismo pitagórico. Los pitagóricos lo representaban mediante 10 puntos, piedrecillas o alfas dispuestos bajo la forma de un triángulo equilátero.

A este anagrama, representación visual y geométrica del hecho de que 10=1+2+3+4, le llamaron la Tetractys de la Década. Tenía, para ellos tanta significación esotérica como el Pentagrama místico, y su importancia simbólica deriva de que por él juraban en sus ceremonias más solemnes, sobre todo en el rito iniciático de incorporación a la comunidad: «¡lo juro por Aquel que ha dado a nuestro alma la Tetractys, fuente y raíz de la Naturaleza eterna!» (Versos Dorados, 47) juramento referente al secreto sobre el contenido de la enseñanza pitagórica.

Los números poligonales

Los pitagóricos solían representar los números mediante puntos en un pergamino o piedrecillas en la arena y los clasificaban según las formas poligonales de estas distribuciones de puntos, es decir, asociaban los números a figuras geométricas obtenidas por la disposición regular de puntos, cuya suma determina el número representado. Así obtenían los diversos tipos de números poligonales o figurados:

Los número triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, ...
Los número cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, ...
Los números pentagonales: 1, 5, 12, 22, 35, ...
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Los números poligonales aparecieron en los albores de la Escuela Pitagórica como un elemento esencial de su misticismo numérico: «no sólo las cosas son en esencia números sino que los números son concebidos como cosas», de modo que las expresiones «números triangulares» o «números cuadrados» no son meras metáforas sino que esos números son, efectivamente, ante el espíritu y ante los ojos, triángulos y cuadrados.

El Teorema llamado de Pitágoras

Una tradición muy persistente con base documental en Vitrubio, Plutarco, Diógenes Laercio, Ateneo y Proclo, atribuye el Teorema de Pitágoras al propio Pitágoras. Pero los descubrimientos arqueológicos de los restos de las culturas de Mesopotamia, Egipto, India y China, han revelado que estas civilizaciones conocían aspectos del Teorema de Pitágoras muchos siglos antes que este sabio. Las referencias prehelénicas al Teorema no contienen, sin embargo, pruebas del mismo, mientras que es generalizada la creencia de que fue Pitágoras el primero en proporcionarnos una demostración lógica del Teorema, lo que hará justo que éste haya pasado a la historia con su nombre.

Diógenes Laercio en su Vida de filósofosrecoge (Pitágoras VIII.7) una referencia de un tal Apolodoro «El Calculador» sobre Pitágoras, en la que asegura que este filósofo sacrificó una hecatombe (cien bueyes), habiendo hallado que en un triángulo rectángulo «la potestad de la línea hipotenusa es igual a la potestad de las dos que lo componen». Continua diciendo que Apolodoro compuso un epigrama en verso: «Pitágoras hallada / aquella nobilísima figura / bueyes mató por ello en sacrificio». Estas anécdotas son, sin duda, ficticias, porque contradicen la filosofía pitagórica sobre la transmigración de las almas, pero han contribuido a magnificar la leyenda que envuelve a Pitágoras, y además determinaron que en la Edad Media al Teorema de Pitágoras se le llamara «Inventum hecatombe dignum».

La tradición ha establecido que Pitágoras habría dado una prueba empírica del Teorema con base en estas figuras:

Muchos historiadores admiten que la demostración de Pitágoras se basaría en su propia Teoría de las Proporciones –imperfecta por aplicarse sólo a cantidades conmensurables–, de modo que la prueba de Pitágoras podría haber sido alguna de las dos siguientes :

Sea ABC un triángulo rectángulo, con el ángulo recto en A, y sea AD perpendicular al lado BC. Según Euclides VI.8 los triángulos DBA y DAC son ambos semejantes con el triángulo ABC y semejantes entre s

Prueba 1. De la semejanza de los triángulos ABC, DBA y DAC resulta:

BA/BD = BC/BA , AC/CD = BC/AC (Euclides VI.4). De aquí se hayan las expresiones del llamado «Teorema del cateto»: BA² = BD·BC , AC² = CD·BC, que al sumarlas, se obtiene: BA² + AC² = (BD+CD)·BC = BC·BC = BC²,

es decir: BA² + AC² = BC².

En esta demostración del Teorema de Pitágoras –basada en el Teorema del cateto–, se descompone, de forma implícita, el cuadrado sobre la hipotenusa, BCIK,en dos rectángulos, BDJK y DCIJ, cada uno de ellos con el mismo área que cada uno de los cuadrados construidos sobre los catetos –el rectángulo BDJK de área como el cuadrado ABEF sobre el cateto AB –ya que BA² =BD·BK, y el rectángulo DCIJ de área como el cuadrado ACHG sobre el cateto AC –ya que AC2 = CD·CI.

Debemos observar que la figura exhibida forma parte de la figura que utiliza Euclides en su demostración del Teorema de Pitágoras en la Proposición I.47 de Los Elementos de Euclides, y además, puntualizar que variantes de esta prueba se encuentran en el hindú Bhaskara, en Leonardo de Pisa (Fibonacci)y en Wallis.

Prueba 2. De la semejanza de los triángulos ABC, DBA y DAC resulta, según Euclides VI.19 («la razón entre las áreas de los triángulos semejantes será igual al cuadrado de la razón de semejanza»): DBA/AB² = DAC/AC² = ABC/BC².

Pero de las propiedades de la suma de proporciones (Euclides 5.12) resulta:

ABC/BC2 = DBA/AB2;= DAC/AC2;= (DBA+DAC) / (AB2+AC2) = ABC / (AB2+AC2) por tanto se tiene: AB2+AC2 = BC2.

Como vemos, estas pruebas del Teorema de Pitágoras mantienen su plena vigencia en los libros de texto de matemáticas escolares elementales.

Quizá ningún teorema de la amplia Matemática haya recibido tantas demostraciones diversas como el Teorema de Pitágoras. De todas ellas la más famosa es sin duda la realizada por Euclides en la Proposición I.47 de Los Elementos. En la Edad Media esta Proposición se la consideraba la base de toda sólida formación matemática. En algunos centros docentes además de exigir, para obtener el grado de maestro, un profundo conocimiento del Teorema, se obligaba a exhibir una nueva y original demostración del mismo, por eso el Teorema de Pitágoras alcanzó la honrosa designación de «Magister matheseos». Este hecho y la gran significación del teorema explica la razón de las innumerables demostraciones que los matemáticos y no matemáticos de todas las épocas y personajes tan diversos como filósofos, monjes, políticos, juristas, ingenieros y artistas, han encontrado del más famoso Teorema de la Geometría.

El Teorema de Pitágoras aparece por doquier en la Matemática. Es la base de multitud de teoremas geométricos, de la trigonometría y de la Geometría analítica. La ecuación pitagórica x²+y²=z² es la ecuación de la circunferencia, la base de la fórmula cos²a+sen²a=1 y el origen del Análisis indeterminado de Diofanto y Fermat. También pudo ser el germen del dramático alumbramiento de la inconmensurabilidad en la Escuela pitagórica.

La aparición del Teorema de Pitágoras en el horizonte histórico cultural pero también en el horizonte escolar señala el primer salto intelectual entre los confines de la especulación empírica y los dominios del razonamiento deductivo. Así pues, estamos ante un auténtico paradigma para la Matemática y sobre todo para la Educación matemática. Por esto y por su universalidad el Teorema de Pitágoras pertenece al imaginario cultural de casi todos los pueblos.

La Divina Proporción y el Pentagrama pitagórico.

Uno de los tópicos pitagóricos más fascinantes y que más influencia ha tenido sobre el Arte, la Mística, la Biología e incluso la Magia ha sido la Sección Áurea o Divina Proporción.Euclides introduce la noción en la Definición VI.3 de Los Elementos:

«Se dice que un segmento está dividido en media y extrema razón cuando el segmento total es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor».

Importantes especulaciones filosóficas, teológicas, naturales y estéticas han surgido en torno a la Divina Proporción desde que la humanidad empieza a reflexionar sobre las formas geométricas que conforman el mundo, siendo el Pitagorismo quien comienza a dar consistencia racional a toda esta doctrina. Puede decirse que donde haya una especial intensificación de la belleza y la armonía de las formas, ahí se encontrará la Divina Proporción, por ejemplo en muchos aspectos de la naturaleza, de donde muchos artistas extraerán su inspiración. La Divina Proporción, sobre todo en forma de rectángulo áureo (con las dos dimensiones en proporción áurea), constituye uno de los métodos canónicos de composición para obras de arte más utilizados por toda clase de artistas a lo largo de toda la Historia del Arte interviniendo, además, en el canon ideal de la belleza humana, en particular en las dimensiones del rostro y de la mano.

Las tarjetas de teléfono y de credito son un ejemplo moderno de elementos cuyas proporciones son las de la Divina Proporción.

El descubrimiento de las magnitudes inconmensurables.

La grandeza sublime del Teorema de Pitágoras y la mágica belleza del Pentagrama místico pitagórico fueron dos caballos de Troya para la Geometría griega, porque llevaban en su interior el germen de la profunda crisis de la secta pitagórica donde aparecieron. Los Pitagóricos, que, como filósofos presocráticos, habían considerado como núcleo dogmático de su Filosofía que «los números son la esencia del universo», encuentran que las consecuencias de su Teorema atentan contra los fundamentos de su doctrina, que les había llevado a establecer un paralelismo entre el concepto numérico y la representación geométrica. En efecto, el cuadrado que es una de las figuras geométricas más simples, proporciona un terrible ente geométrico, la diagonal, que no es conmensurable con el lado. Lo mismo sucede entre la diagonal y el lado del pentágono. La creencia de que los números podían medirlo todo era una ilusión. Así quedaba eliminada de la Geometría la posibilidad de medir siempre con exactitud. Se había descubierto la magnitud inconmensurable, lo irracional –no expresable mediante razones–, «el alogon», que provocaría una crisis sin precedentes en la Historia de la Matemática. La sacudida que la aparición del nuevo ente provocó en la Matemática griega puede calibrarse por la leyenda apocalíptica que relata un viejo escolio (atribuido a Proclo) del Libro X de Los Elementos de Euclides:

«Es fama que el primero en dar al dominio público la teoría de los irracionales, perecería en un naufragio, y ello porque lo inexpresable e inimaginable debería siempre haber permanecido oculto. En consecuencia, el culpable, que fortuitamente tocó y reveló este aspecto de las cosas vivientes, fue trasladado a su lugar de origen, donde es flagelado a perpetuidad por las olas.»

En el mismo tono apocalíptico escribe Jámblico (Vida Pitagórica. XXXIV, 246–247, p.141):

«Se dice que primero que reveló la naturaleza de la conmensurabilidad e inconmensurabilidad a los indignos de participar de tales conocimientos fue aborrecido [por la comunidad pitagórica] hasta el punto de que no sólo lo expulsaron de la vida y de la vivienda en común, sino que incluso le erigieron una tumba como si él, que había sido una vez compañero, hubiese abandonado la vida entre los hombres. [...] Otros afirmanque la divinidad se enojó contra quien divulgó la doctrina de Pitágoras, pereciendo como un impío en el mar por sacrílego al haber revelado la doctrina de los números irracionales y la inconmensurabilidad.»

Las circunstancias concretas del primer reconocimiento de inconmensurables son tan desconocidas como la fecha en que tuvo lugar. Aunque Proclo –en sus Comentarios–, lo atribuye al propio Pitágoras cuando escribe que este filósofo «descubrióla dificultad de los números irracionales» suele admitirse que fue hacia el 480 a.C. por Hipasos de Metaponto. El descubrimiento pudo tener lugar al intentar reiteradamente de forma empírica encontrar una unidad que permitiera medir, de manera exacta, simultáneamente la diagonal y el lado del cuadrado o bien la diagonal y el lado de un pentágono regular.

El descubrimiento de la inconmensurabilidad marca un hito en la Historia de la Geometría, porque no es algo empírico, sino puramente teórico. Con el descubrimiento de los inconmensurables quedaban afectadas y debían ser reconstruidas todas las pruebas pitagóricas de los teoremas en los que haya que comparar razones de magnitudes geométricas. Se explica, pues, el consiguiente secretismo de los pitagóricos sobre la cuestión irracional y la leyenda del castigo por su divulgación. Leyendas y conjeturas aparte, se comprende que el descubrimiento de las magnitudes inconmensurables produjera un escándalo lógico en todo el ámbito pitagórico, ya que exigía una revisión a fondo de los fundamentos de su Matemática y su Filosofía, pero fue no sólo la cuna de la Geometría griega sino uno de los componentes esenciales del milagro griego en Matemáticas.

La tempestad provocada por el descubrimiento pitagórico de los irracionales precipitó la primera crisis de fundamentos en la Historia de la Matemática, propiciando «el horror al infinito», que caracteriza casi toda la Matemática griega posterior. Como reacción al lenguaje ingenuo de los pitagóricos, mezcla de brillantes ideas matemáticas, actitudes místicas y aforismos religiosos, se impondrá el severo rigor de Los Elementos de Euclides. Pero el desarrollo de La Geometría al margen de la Aritmética, la ausencia de un Álgebra simbólica y la conversión de toda la Matemática en Geometría, con un estilo sintético de exposición que oculta la vía heurística del descubrimiento, fue el efecto más inmediato.

Para terminar, a modo de resumen, lo más importante del legado pitagórico matemático es la propia instauración de la Matemática como ciencia racional a través de la práctica de la demostración.

CITAS MEMORABLES SOBRE PITÁGORAS

1.- Aprende lo necesario para que tu vida sea más feliz. Lo mejor en todo es la justa medida. Reflexiona sobre todo tomando como guía la recta razón. Pitágoras. Los Versos de Oro (31, 38, 68–69).

2.- Pitágoras exhortó al que ambicionara una auténtica fama a ser individualmente tal como quisiera parecer a los demás. [...]. Pitágoras exhortó a ejercitarse en el escuchar a fin de capacitarse para hablar. Jámblico, Vida Pitagórica. ( IX.49, p.43 ; X.53, p.45).

3.- Para Pitágoras la primera esencia era la naturaleza de los números y proporciones que se extienden a través de todas las cosas, de acuerdo con los cuales todo está armónicamente dispuesto y convenientemente ordenado. Jámblico, Vida Pitagórica., XII.59, p.49.

4.- Pitágoras fue el primero en usar el nombre de Filosofía y se llamó a sí mismo filósofo o amante de la sabiduría. [...]. “Ninguno de los hombres, dijo Pitágoras, es sabio: sólo lo es Dios”. Diógenes Laercio. Vida de los filósofos más ilustres. Libro I. Proemio.VIII, pp.11–12.

5.- En Roma nadie era considerado instruido si no era pitagórico. Cicerón (Tusculanas, I.1, XVI).

6.- El mundo platónico de las ideas es la forma revisada y refinada de la doctrina pitagórica de que el número es la base del mundo real. A.Whitehead.La Matemática en la Historia del Pensamiento (en SIGMA, el mundo de las Matemáticas, Vol.1, p.332).

7.- En el número reside, como lo comprendió Pitágoras con la íntima certidumbre de una sublime intuición religiosa, la esencia de todo lo real. [...] La afirmación pitagórica de que el número es la esencia de todas las cosas aprehensibles por los sentidos siegue siendo la más valiosa proposición de la Matemática antigua. O.Spengler. El sentido de los números (en La decadencia de Occidente. Cap.I.1). Austral, Madrid, 1998, pp.132,148.

8.- Pitágoras es un gran pensador cuya escuela estableció una relación entre las Matemáticas, la Ciencia y la Filosofía que no se ha perdido nunca. J.Bernal. Historia social de la Ciencia. Península, Barcelona, 1979 vol.1. pp.149–150.

9.- La Matemática nace a la sombra de la metafísica pitagórica fundada en la omnipresencia y omnipotencia del numero. J.Babini. Arquímedes: El Método. Eudeba, Buenos Aires, 1966, p.14.

10.- Pitágoras fue el primer pensador que intentó conciliar las Matemáticas con la Filosofía, una de las mayores aportaciones realizadas a la civilización a lo largo de toda la historia. Desde entonces, las Matemáticas han mantenido una estrechísima relación con la Filosofía y la Ciencia, hasta el punto de que algunos de los más grandes filósofos han sido también grandes matemáticos. B.Mage. Historia de la Filosofía, Blume, Barcelona, 1988. p.15.

11.- Pitágoras es intelectualmente uno de los hombres más importantes que han existido y que mayor influencia ha ejercido en la Historia del Pensamiento. Bertrand Russell. Historia de la Filosofía Occidental, Austral, vol.1, p.65.

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